三個二十二階冪等正交拉丁方
張俠輔
我們曾經找到了三個相互正交的十階，十四階，十八階拉丁方。用同樣的方法，我們也找到了一些三個相互正交的二十二階拉丁方。這類拉丁方還可化爲冪等拉丁方,即主對角線上的元素排列成自然數順序1,2,…22的拉丁方. 這是很有用的結果. 以前,曾經有一條定理:
除去N=6,10,18,22,26的情況,只要N>=5,一定存在三個相互正交的N階冪等拉丁方.
我們曾經給出了三個相互正交的十八階冪等拉丁方,現在,我們再給出三個相互正交的二十二階冪等拉丁方.這樣,此定理要去掉18和22的情況,我們深信,26的情況也一定可以去掉.
假設Z21是一個模21的迴圈剩餘的完備集Z21={0,1,2,…,20},
附加一個元素”無窮大”對於此集,並且定義
讓A是一個在Z21與無窮大的並集上的四行二十二列矩陣.讓(X1,…,X22)和(Y1,…,Y22)是A的任二行,這二行是被說成是相互正交的,如果
(1)這二行的任意一行均包含Z21的全部元素和無窮大.
(2)這二行的無窮大的位置互不相同.
(3)
去掉減數或被減數是無窮大的情況,任二行對應元相減,所得的差彼此不相同.
(注意,這裏用的是模22的減法).
若A的任二行相互正交,我們就說矩陣A是一個AR矩陣.我們給出一個AR矩陣如下.
用此AR矩陣,我們很容易構造出三個二十二階正交拉丁方.其構造公式已給出在十階和十四階的文章中,設XP和YQ和ZR分別是AR的二,三,四行元素,我們再寫出公式如下:
用上述公式構造出三個正交拉丁方後,經過一些字母代換和行列置換,很容易變換成爲三個冪等正交拉丁方如下:
