十階拉丁方的正交對的一個系列
張俠輔
摘要
本文給出了五個AR矩陣，由每個AR矩陣可以構造四對十階正交拉丁方，它們組成一個完整的系列.
1782年，EULER曾經提出：也許不存在階數N=2（MOD
4）的正交拉丁方。在組合數學中，由EULER首先提出的這一問題被稱爲EULER猜想。尋找這一問提的答案，歷經一百多年的停滯，到二十世紀才得到了解決。1900年左右，TARRY通過系統的枚舉，證明了當N=6時，EULER猜想是正確的。到1960年左右。BOSE.SHRIKHARDE和PARKE證明了，對於N>6的情況，與EULER猜想相反，必存在一對N=2（MOD4）的正交拉丁方，並且，他們作出了一對十階正交拉丁方。這是一個突破。從他們的理論産生了一種新的組合設計，爲後來衆多的學者所採用和發展了。隨著這一問題的解決，下一步的問題是，對於各種非素數冪的階N，究竟存在多少個彼此相互正交的拉丁方，以及這樣一些正交的拉丁方的具體結構如何，等等這些問題，至今還未徹底解決。
1988年，我們用一套與上述學者不同的方法，在速度爲一兆赫的電腦上，找到了一百捌十對十階正交拉丁方，這一新的結果證實了，對於非素數冪的某些情形，拉丁方的正交組不是唯一的，能夠形成系列。
設Z9是整數環，其元素組成模9的非負最小完全剩餘系，∞是一個固定點，對於α∈Z9，定義運算
∞+α=α+∞=∞*α=α*∞=∞
在集合Z9U{∞}上的3*AR矩陣具有性質
1） 每行每列包含彼此不同的元素。
2） 如果r1=(x1,x2…,x10) 和 r2=(y1,y2…,y10) 是AR矩陣的任意兩行，則對每個α∈Z9\{0}，恰存在唯一的一對元素（xi,yi）, 使得xi-yi=α.
設
AR=
在集合Z9U{∞}上的拉丁方爲
LK=
i,j=1,2,3,…,10 k=1,2
則由一組構作公式
l1i2=xi, l2i2=yi
i=1,…,10
(1)
lk11=∞,
lki1=i-2
i=2,…,10 k=1,2
(2)
lk1,j+1=lk1j +1
j=2,…10 k=1,2
(3)
lki+1,j+1=lkij +1
i,j=2,…,10 k=1,2
(4)
可以作出一對十階正交拉丁方。這裏，下標也是模9的，即當i=10有i+1=2, 當j=10有j+1=2.
我們給出5個相互獨立的3*AR矩陣如下
由一個AR矩陣可以生成4對彼此不同構的十階正交拉丁方，設它們是PA1，PA2，PA3，和PA4。它們可以通過如下的步驟構造出來：
1）
將AR矩陣進行列置換，使其中一行按元素的自然順序排列，亦即(∞,0,1,2,…,8)，而將另外兩行(x1,x2…,x10)和(y1,y2…,y10)用於構作公式，則對應於一個AR中1，2，3行的自然順序排列，由構作公式分別作出的正交對爲PA1，PA2，PA3。它們彼此不同構。
2）
對每對十階正交拉丁方PA1，PA2，PA3，將每一元素減去其所屬拉丁方的第一行第二列的元素值，再將整個拉丁方進行轉置，就得到另外一對正交拉丁方。即存在變換
i,j=1,2,…,10
k=1,2
它將PA1，PA2，PA3分別變爲PA1，，PA2，，PA3，，但是其中PA1，=PA1。這是一種同構變換。
3）
在PA2，或PA3，中，取每個拉丁方的第二列爲(x1,x2…,x10)和(y1,y2…,y10)。連同排列(∞,0,1,2,…,8)一起又可以構成一個新的AR矩陣，這只不過是將構作公式（1）反過來使用而已。由得到的這個AR矩陣，再重復步驟1）作出三對十階正交拉丁方，它們必爲PA2，，PA3，和PA4，因而從中能夠找出PA4。
按照這些步驟，除去與PA2和PA3同構的PA2，和PA3，外，由5個AR矩陣總共能夠構造20對彼此不同構的正交拉丁方，它們形成一個完整系列。
由本文給出的構作公式所規定的形式的正交拉丁方，還可以通過一種變換演化出6種表現形式。實際上，只要將一對拉丁方的各元素乘與2P（MOD9），就得到另外一種表現形式。分別取P=0，1，2，3，4，5，就得到相應的6種表現形式，由一個AR矩陣聯繫的6對正交拉丁方PA1，PA2，PA3，PA4，PA2，和PA3，，每對都有6種表現形式，6對就有36種表現形式，因而5個AR矩陣聯繫的正交拉丁方，一共有180種表現形式。此即在電腦裏找到的180對十階正交拉丁方。
例如，我們取第一個AR矩陣，按構作公式（1）（2）（3）（4）直接作出的第一對正交拉丁方爲：
