狄拉克方程的一個新表像

　

昆明理工大學理學院 張俠輔

(張俠輔和蔡昌斐都是雲南大學理論物理專業同學，初期大家共同研究這個課題)

　

摘要：作者找到了一個狄拉克方程的新表像。在這個表像中，除開普通空間的自旋, 還把第二內稟自旋自然地包含于方程之中，這個第二內稟自旋應該就是同位旋。並且，這個方程包含了更多的對稱性，可能?解決強相互作用問題找到一條新的途徑。

　

　

  1. 引言
    2.

    狄拉克方程是量子力學和量子場論的基本方程, 在很多場合它已經被人們使用了一個相當長的時間。但是在過去的日子裏，一般人只管應用它, 而沒有誰去猜測它的表像是否是一個好的表像，更沒有人去懷疑它是不是正確. 經過長期研究, 作者找到了一個狄拉克方程的新表像，在這個表像中，除開普通空間的自旋, 還把第二內稟自旋自然地包含于方程之中。我們知道，基本粒子只可能有兩種旋，一種是自旋，一種是同位旋。這樣就把同位旋作?第二內稟自旋自然地設置于方程之中，不需要在後來單獨加入。並且，這個方程包含了更多的對稱性，可能?解決強相互作用問題找到一條新的途徑。從這個方程我們看出, 所有的自旋?1/2的粒子都既包含有自旋, 又包含有同位旋。 這個方程的解的數目多於原來的方程, 因此, 也許原先不同的幾種粒子, 在此方程中只須用不同的狀態來加以區別.

    　

  2. 狄拉克方程的新表象

我們已經很熟悉2×2泡利自旋矩陣:

| 0 1 | | 0 㷽 | | 1 0 |

| 1 0 | | i 0 | | 0 -1 | （2。1）

我們指出, 除開這三個2×2泡利自旋矩陣, 我們能夠找出一對矩陣組,每組包含三個4×4

矩陣, 每組中三個4×4矩陣的性質, 恰巧與2×2泡利自旋矩陣（2。1）的性質完全相同.

由三個4×4矩陣組成的第一矩陣組?:

| 0 0 0㷽 | | 0 0 i 0 | | 0㷽 0 0 |

| 0 0 -i 0 | | 0 0 0 -i | | i 0 0 0 | (2。2)

| 0 i 0 0 | |-i 0 0 0 | | 0 0 0㷽 |

| i 0 0 0 | | 0 i 0 0 | | 0 0 i 0 |

由三個4×4矩陣組成的第二矩陣組?:

| 0 0 0 i | | 0 0 i 0 | | 0㷽 0 0 |

| 0 0 -i 0 | | 0 0 0 i | | i 0 0 0 | (2。3)

| 0 i 0 0 | |-i 0 0 0 | | 0 0 0 i |

|-i 0 0 0 | | 0 -i 0 0 | | 0 0 -i 0 |

這兒 i=√-1 . 所有這些矩陣是厄米特矩陣. 我們記第一矩陣組用算符σ1 ,σ2 ,σ3 ，記第二矩陣組用算符τ1 ,τ2 ,τ3 , 它們能夠被表示?向量算符σ 和τ. 亦即: σ=[σ1 ,σ2 ,σ3],τ=[τ1 ,τ2 ,τ3 ].這對算符σ 和τ 的運算法則能夠從第一矩陣組(2。2)和第二矩陣組(2。3)得出:

σi = σi＋ σiσj + σjσi = 2δij

σ1σ2 = iσ3 σ2σ3 = iσ1 σ3σ1 = iσ2 (2。4)

τi = τi＋ τiτj + τjτi = 2δij

τ1τ2 = iτ3 τ2τ3 = iτ1 τ3τ1 = iτ2

算符σ 和τ 的性質, 恰巧與2×2泡利自旋矩陣的性質相同.此外還有一個特別重要的性質, 即第一矩陣組的每個矩陣和第二矩陣組的每個矩陣對易:

σiτj𢜟njσi = 0 (2。5)

有了這一隊算符σ 和τ以後，我們便能夠利用算符的上述性質, 對狄拉克方程加以改造。使其表像更加合理。一般的狄拉克方程能夠寫?:

(γμeμ + m )ψ = 0 （2。6）

這裏並未給出方程的表像. 即沒有具體給出算符γμ用怎樣的矩陣來表示. 沒有給出具體表像之前的方程，可稱?一般的狄拉克方程。但是這裏的算符γμ 必須滿足反對易關係:

γμγν + γνγμ = δμν （2。7）

我們提出的表像是要用算符σ 和τ 按如下的規定替換算符γμ :

γ1 =τ1σ1 γ2 =τ1σ2 γ3 =τ1σ3 γ4 =τ2 （2。8）

由運算規則(2。4)和(2。5), 我們能夠證明這樣的規定(2。8)遵守反對易關係(2。7):

γiγj + γjγi=(τ1σi)(τ1σj)+(τ1σj)(τ1σi) =σiσj+σjσi = 2δij

γiγ4 + γ4γi=(τ1σi)τ2 +τ2(τ1σi) =σi(τ1τ2 +τ2τ1) = 0 （2。9）

這樣規定以後，把（2。8）代入方程(2。6)，一個新表像即被建立起來

(τ1σ1 e1 +τ1σ2 e2 +τ1σ3 e3 +τ2 e4 + m ) ψ = 0 （2。10）

方程（2。10）即是作者找到的新的狄拉克方程. 在此方程中，並不存在時間座標與空間某一方向的座標之間的對稱性。要講對稱性的話，僅當我們把整個空間作?一個統一的整體，才談得上空間和時間之間的對稱性。因此，我們在相對論中形成的時空概念，在此方程中要作些微改變。

在羅倫茲變換下，時空座標作如下變換：

xμ′ = αμν xν （2。11）

方程（2。6）的相對論不變性要求算符γμ 滿足變換關係

γμ′ = αμνγν = Λ-1γμΛ （2。12）

對於無限小變換，我們已經熟知如下的關係

αμν =δμν +εμν εμν = -ενμ

Λ= 1 +εμνSμν/2 Λ-1= 1 𢜟`μνSμν/2

Sμν = (γμγν - γνγμ)/4 = -Sνμ （2。13）

利用算符σ 和τ 的性質（2。4）和（2。5），在（2。13）中將規定（2。8）代入，便可算出 Sμν在新表象中的表?式

S12 = iσ3 /2 S23 = iσ1 /2 S31 = iσ2 /2

S14 = iσ1τ3 /2 S24 = iσ2τ3 /2 S34 = iσ3τ3 /2 （2。14）

注意到 εij =ε＊ij 和 εi4 = -ε＊i4 , 我們得到

τ1Λ＋τ1 =Λ-1 τ2Λ＋τ2 =Λ-1 （2。15）

可見變換算符 Sμν 和 Λ 已經不同于原來的表示，並且比原來的表示更完美。在羅倫茲變換下，方程（2。6）的相對論協變性可以用算符 Sμν 的運算式（2。14）加以驗證。

　

3. 在新表象中的狄拉克方程的解

我們用算符τ1 左乘新的狄拉克方程（2。10）。此方程變成一個更加對稱的形式

(σ1 e1 +σ2 e2 +σ3 e3 + iτ3 e4 + τ1 m ) ψ = 0 （3。1）

我們用分離變數法尋找方程（3。1）的一個特解ψ，它能夠分解成三個一元函數的乘積

ψ = ψ(σ)ψ(τ)ψ(x) = ψσψτψx （3。2）

一個一般的解能夠寫成有限或無限個這樣的特解之和。 這兒 ψσ 和 ψτ 分別屬於σ和τ的函數，而

ψx = C1 exp(ixμPμ) （3。3）

將（3。3）代進（3。2），再將（3。2）代進（3。1），方程（3。1）化成

( iσ1 P1 + iσ2 P2 + iσ3 P3 -τ3 P4 + τ1 m ) ψ = 0 （3。4）

這個方程能夠被重寫?較?簡潔的形式

iσ·P ψ = (τ3 P4 - τ1 m ) ψ （3。5）

這裏動量向量P=[P1，P2，P3]。用（3。2）式同除上式兩邊，我們得到

iσ·P ψσ (τ3 P4 - τ1 m ) ψτ （3。6）

　

ψσ ψτ

既然方程（3。6）的左邊僅僅與σ有關，右邊僅僅與τ有關，兩邊必定是等於同一個常數。我們把這個常數記? i2PS, 最後（3。6）式分離成兩個方程:

iσ·P ψσ = i2PS ψσ （3。7）

(τ3 P4 - τ1 m )ψτ = i2PSψτ （3。8）

我們首先尋找方程（3。7）的解，與此方程相對應的久期方程是

Det ( i2PS - iσ1 P1 - iσ2 P2 - iσ3 P3 ) = 0 （3。9）

將表徵算符σ的第一組矩陣代入上式，得到一個四階行列式如下：

i2PS –P3 P2 –P1

P3 i2PS –P1 –P2

–P2 P1 i2PS –P3

P1 P2 P3 i2PS （3。10）

經過簡單計算得到

[ (2PS) 2 – ( P12 + P22 + P32 ) ] 2 = 0

2PS = ±√ P12 + P22 + P32 （3。11）

可見，此方程的本征值是簡併的。方程（3。7）是動量和自旋二者的本征值方程。我們求解此方程時，既得到了S的值，又得到了P的值. 本征值S是自旋 S = σ/2 在動量 P的方向的投影。本征值P是我們熟知的動量向量 P的模，因此我們得到

P =√ P12 + P22 + P32 S = ±1/2 （3。12）

將上面的解（3。12）代回方程（3。7）我們得到四個相互正交的波函數:

P1 P1

1 P2 1 P2

　

﹟2 P P3 (S=1/2) ﹟2 P P3 (S=-1/2)

iP -iP

（3．13）

i( P 2-P12) -i(P 2-P12)

1 -P3P-iP1P2 1 -P3P+iP1P2

　

﹟2(P 2-P12)P P2P-iP1P3 (S=1/2) ﹟2(P 2-P12)P P2P+iP1P3 (S=-1/2)
    1. 0

方程（3。7）的解不是唯一的，我們能夠找到一些其他的相互正交的四個波函數ψσμ, 它們都能滿足方程（3。7）.

我們現在尋找方程（3。8）的解。用τ3 乘（3。8）的兩邊，移項後得：

( iτ3 2PS + iτ2 m )ψτ = P4ψτ （3。14）

上面的方程是 P4 的本征值方程. 與方程（3。7）類似, 此處的P4 不僅表示能量的本征值，而且也包含算符τ 在時間座標上的投影的本征值，因此我們將它記? P4=i2ET, 於是方程（3。8）最後被寫成

( iτ3 2PS + iτ2 m )ψτ = i2ETψτ （3。15）

相應于方程（3。15）的久期方程是

Det ( i2ET - iτ3 2PS - iτ2 m ) = 0 （3。16）

將算符τ的矩陣表示（2。3）代入上式, 當 S=1/2 時，上面的公式給出

i2ET - P m 0

P i2ET 0 m

- m 0 i2ET P

　

0 - m -P i2ET （3。17）

求解此行列式得到

[ (2ET) 2 – ( P2 + m2 ) ] 2 = 0

2 E T = ±√ P2 + m2 （3。18）

這組解也是簡併的。 方程（3。15）是能量和第二內稟自旋算符τ的本征值方程。此處本征值 T 代表第二內稟自旋 T=τ/2 沿空間時間座標系統第四軸的投影， 而本征值 E 則是我們熟知的能量。由此可見，這裏不存在所謂的“負能解困難”。如下的解是合理的：

E =√ P2 + m2 T = ±1/2 （3。19）

把結果（3。19）代回方程（3。8），我們得到四個相互正交的波函數:

iE P

1 -P 1 -iE

　

﹟
2 E m (T=1/2) ﹟2 E 0 (T=-1/2)

0 m

（3．20）

　

0 m

1 m 1 0

　

﹟
2 E P (T=1/2) ﹟2 E iE (T=-1/2)

-iE -P

　

和方程（3。7）一樣，方程（3。8）的解也不是唯一的，我們能夠找到一些其他的相互正交的四個波函數ψτμ. 當S=-1/2時，只需把方程（3。17）和解（3。20）中的P 用-P 代換，其餘保持不變。如果我們用

ψx = C2 exp(-ixμPμ) （3。21）

代替式（3。3），只需把方程（3。17）和解（3。20）中的m 用- m 代換，其餘保持不變即可。既然每組解ψσ 和ψτ 包含四個相互獨立的波函數，作?方程（3。1）的解的波函數ψ, 它是ψσ和ψτ的乘積，將包含16個狀態波函數。 所以，方程（2。10）的解應該是描述我們原來稱之?粒子體系的東西。也就是說，在此方程中，我們可以把一些不同的粒子，看成是同一粒子的一些不同的狀態。

　

  1. 守恒流

從算符σ和τ的性質我們看出，不存在由σi 和τj構成的張量，也就是說它們根本構造不出張量 ，這是與實驗事實相符合的。根據式（2。15），我們能夠假設

ψ = ψ＋τ2 （4。1）

如果ψτ 是方程（3。8）的解，那么ψτ＋τ2 也是方程（3。8）的解:

ψτ＋τ2 (τ3 P4 - τ1 m ) = i2PSψτ＋τ2 （4。2）

我們定義四維的流密度向量?

J1 =ψγ1ψ=ψτ1σ1ψ=-iψ＋τ3σ1ψ

J2 =ψγ2ψ=ψτ1σ2ψ=-iψ＋τ3σ2ψ

J3 =ψγ3ψ=ψτ1σ3ψ=-iψ＋τ3σ3ψ

J4 =ψγ4ψ=ψτ2ψ=ψ＋ψ （4。3）

上面的式子能夠被重寫?

Ji =ψ＋τ3σiψ J4 =iρ=iψ＋ψ （4。4）

注意到 ψ=ψ(σ)ψ(τ)ψ(x)=ψσψτψx 和 ψx＋ψx=1(orδ),既然這些解ψσ ，ψτ 以及 ψx 都是從分離變數法得來的，它們應該相互對易，因此我們有

ψ＋τiσjψ=(ψτ＋τiψτ)(ψσ＋σjψσ) （4。5）

我們可以找出 Jμ 的一個特解，這只要把我們已經找到的ψσ 和ψτ，亦即上面已經給出的特解（3。13）和（3。20）代入（4。4）中。我們首先計算（4。5）的每個因數，得到

ψσ＋σiψσ = Pi/P when S=1/2 ψσ＋σiψσ = -Pi/P when S=-1/2

ψτ＋τ3ψτ = P/E when T=1/2 ψτ＋τ3ψτ = -P/E when T=-1/2 （4。6）

將（4。6）代入（4。4），便得到四維空間的流密度向量

Ji = Pi/E when S=1/2 and T=1/2 or when S=-1/2 and T=-1/2

Ji = - Pi/E when S=1/2 and T=-1/2 or when S=-1/2 and T=1/2

J4 = i （4。7）

如將 Jμ的每一分量乘與能量E , 便得到能量動量四度向量. 我們可以看出，對於給定的 P, 這種流還可正可負，這樣的性質除非電流莫屬. 從表示流的這些式子我們看到，流的正負不僅與S有關，而且與T有關。因而T 應當是與電荷相關的一個算符，才會影響到流的符號。

我們能夠從σ和τ的運算規則推導出γ5在新表像下的形式：

γ5 =γ1γ2γ3γ4 = τ1σ1τ1σ2τ1σ3τ2 = -τ3 （4。8）

四維空間的流密度膺向量可以表示?

j1 =ψγ5γ1ψ= -ψτ3τ1σ1ψ=-iψ＋σ1ψ

j2 =ψγ5γ2ψ= -ψτ3τ1σ2ψ=-iψ＋σ2ψ

j3 =ψγ5γ3ψ= -ψτ3τ1σ3ψ=-iψ＋σ3ψ

j4 =ψγ5γ4ψ= -ψτ3τ2ψ=ψ＋τ3ψ （4。9）

上面這些式子可簡寫?

ji =ψ＋σiψ j4 = iψ＋τ3ψ （4。10）

把解（3。13）和（3。20）代入（4。10）可以得到jμ 的一個特解

ji = Pi/P when S=1/2 ji = -Pi/P when S=-1/2

j4 = iP/E when T=1/2 j4 = -iP/E when T=-1/2 （4。11）

我們看到，向量流（4。4）是由純粹的帶電粒子形成的，我們稱這種流?電流。當有中性粒子參與在流中，我們假定，它將是向量和膺向量流二者之和：

Jμ0 = Jμ + jμ （4。12）

或者把它重新表示?

Ji0 = ψτ＋(1+τ3)ψτ(ψσ＋σiψσ) Ji0 = iψτ＋(1+τ3)ψτ （4。13）

注意到流向量Jμ0的每一分量都有因數ψτ＋(1+τ3)ψτ，因此，對於電磁相互作用，我們可以認?這個因數?零，從而使Jμ0=0。對於弱相互作用，這個因數不?零，而且這個因數是第二內稟自旋的提升和下降算符，亦即對應於ΔT=1/2的算符。在弱相互作用中有個同位旋ΔI=1/2選擇定則。這是第二內稟自旋對應於同位旋的又一個例證。顯然，這個因數使一個帶電粒子轉變?不帶電的粒子，或者相反，使一個不帶電粒子轉變?帶電粒子。

　

5. 自旋σ和第二內稟自旋τ的電磁勢

當存在電磁場時，狄拉克方程中的運算元eμ 應由Dμ代替，且 Dμ=eμ-ieAμ . 狄拉克方程被表示?

(γμDμ + m )ψ = 0 （5。1）

用算符(γλDλ- m )左乘（5。1）式，?出

(γλγμDλDμ - m2 )ψ = 0 （5。2）

顯然

γλγμ=δλμ+(γλγμ - γμγλ)/2 =δλμ- 2Sλν （5。3）

交換啞指標字母，並注意Sλμ的反對稱性，我們得到

SλμDλDμ= - SλμDμDλ= Sλμ( DλDμ-DμDλ)/2 （5。4）

進一步的運算給出

DλDμ-DμDλ=ie(eλAμ-eμAλ)=ieFλμ （5。5）

因此方程(5-2)最後能夠被表示?

( DμDμ + ieSλμFλμ - m 2 )ψ = 0 （5。6）

方程(5-6)比克萊茵-高登方程多了一項ieSλμFλμ。 用 Sλμ的運算式（2。14）代入這項，並將電磁場張量的各分量Fλμ換成用電場 E 和磁場 B 的分量表出, 我們最後得到

ieSλμFλμ = -eσ·B + ieτ3 σ·E

這項稱?電磁勢，其作用是使粒子極化。即這項的作用是使得粒子自旋轉向與外場方向平行或反平行的方向。從這項我們可以看出，不僅磁場能夠極化粒子，而且電場也能夠極化粒子。

　

　

考文

[1] L.D.Landau and E.M.Lifshits, Quantum Mechanics (1948)

[2] V.A. Fok, The Principles of Quantum Mechanics (1932)

[3] P.A.M.Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford (1957)

[4] M.Gell-mann & Ne’eman The Eightfold Way, New York (1964)

[5] Leonad I.Schiff Quantum Mechanics (1949)

[6] Albert Messiah Quantum Mechanics (1958)