狄拉克方程的一個新表像

 

昆明理工大學理學院 張俠輔

(張俠輔和蔡昌斐都是雲南大學理論物理專業同學,初期大家共同研究這個課題)

 

摘要:作者找到了一個狄拉克方程的新表像。在這個表像中,除開普通空間的自旋, 還把第二內稟自旋自然地包含于方程之中,這個第二內稟自旋應該就是同位旋。並且,這個方程包含了更多的對稱性,可能?解決強相互作用問題找到一條新的途徑。

 

 

  1. 引言
  2. 狄拉克方程是量子力學和量子場論的基本方程, 在很多場合它已經被人們使用了一個相當長的時間。但是在過去的日子堙A一般人只管應用它, 而沒有誰去猜測它的表像是否是一個好的表像,更沒有人去懷疑它是不是正確. 經過長期研究, 作者找到了一個狄拉克方程的新表像,在這個表像中,除開普通空間的自旋, 還把第二內稟自旋自然地包含于方程之中。我們知道,基本粒子只可能有兩種旋,一種是自旋,一種是同位旋。這樣就把同位旋作?第二內稟自旋自然地設置于方程之中,不需要在後來單獨加入。並且,這個方程包含了更多的對稱性,可能?解決強相互作用問題找到一條新的途徑。從這個方程我們看出, 所有的自旋?1/2的粒子都既包含有自旋, 又包含有同位旋。 這個方程的解的數目多於原來的方程, 因此, 也許原先不同的幾種粒子, 在此方程中只須用不同的狀態來加以區別.

     

  3. 狄拉克方程的新表象

我們已經很熟悉2×2泡利自旋矩陣:

| 0 1 | | 0 i | | 1 0 |

| 1 0 | | i 0 | | 0 -1 | (2。1)

我們指出, 除開這三個2×2泡利自旋矩陣, 我們能夠找出一對矩陣組,每組包含三個4×4

矩陣, 每組中三個4×4矩陣的性質, 恰巧與2×2泡利自旋矩陣(2。1)的性質完全相同.

由三個4×4矩陣組成的第一矩陣組?:

| 0 0 0i | | 0 0 i 0 | | 0i 0 0 |

| 0 0 -i 0 | | 0 0 0 -i | | i 0 0 0 | (2。2)

| 0 i 0 0 | |-i 0 0 0 | | 0 0 0i |

| i 0 0 0 | | 0 i 0 0 | | 0 0 i 0 |

由三個4×4矩陣組成的第二矩陣組?:

| 0 0 0 i | | 0 0 i 0 | | 0i 0 0 |

| 0 0 -i 0 | | 0 0 0 i | | i 0 0 0 | (2。3)

| 0 i 0 0 | |-i 0 0 0 | | 0 0 0 i |

|-i 0 0 0 | | 0 -i 0 0 | | 0 0 -i 0 |

這兒 i=√-1 . 所有這些矩陣是厄米特矩陣. 我們記第一矩陣組用算符σ1 ,σ2 ,σ3 ,記第二矩陣組用算符τ1 ,τ2 ,τ3 , 它們能夠被表示?向量算符στ. 亦即: σ=[σ1 ,σ2 ,σ3],τ=[τ1 ,τ2 ,τ3 ].這對算符στ 的運算法則能夠從第一矩陣組(2。2)和第二矩陣組(2。3)得出:

σi = σi σiσj + σjσi = 2δij

σ1σ2 = iσ3 σ2σ3 = iσ1 σ3σ1 = iσ2 (2。4)

τi = τi τiτj + τjτi = 2δij

τ1τ2 = iτ3 τ2τ3 = iτ1 τ3τ1 = iτ2

算符στ 的性質, 恰巧與2×2泡利自旋矩陣的性質相同.此外還有一個特別重要的性質, 即第一矩陣組的每個矩陣和第二矩陣組的每個矩陣對易:

σiτjτjσi = 0 (2。5)

有了這一隊算符στ以後,我們便能夠利用算符的上述性質, 對狄拉克方程加以改造。使其表像更加合理。一般的狄拉克方程能夠寫?:

μeμ + m )ψ = 0 (2。6)

這堥疇撐馴X方程的表像. 即沒有具體給出算符γμ用怎樣的矩陣來表示. 沒有給出具體表像之前的方程,可稱?一般的狄拉克方程。但是這堛犖漜γμ 必須滿足反對易關係:

γμγν + γνγμ = δμν (2。7)

我們提出的表像是要用算符στ 按如下的規定替換算符γμ :

γ11σ1 γ21σ2 γ31σ3 γ42 (2。8)

由運算規則(2。4)和(2。5), 我們能夠證明這樣的規定(2。8)遵守反對易關係(2。7):

γiγj + γjγi=(τ1σi)(τ1σj)+(τ1σj)(τ1σi) =σiσjjσi = 2δij

γiγ4 + γ4γi=(τ1σi2 21σi) =σi1τ2 2τ1) = 0 (2。9)

這樣規定以後,把(2。8)代入方程(2。6),一個新表像即被建立起來

1σ1 e11σ2 e21σ3 e32 e4 + m ) ψ = 0 (2。10)

方程(2。10)即是作者找到的新的狄拉克方程. 在此方程中,並不存在時間座標與空間某一方向的座標之間的對稱性。要講對稱性的話,僅當我們把整個空間作?一個統一的整體,才談得上空間和時間之間的對稱性。因此,我們在相對論中形成的時空概念,在此方程中要作些微改變。

在羅倫茲變換下,時空座標作如下變換:

xμ = αμν xν (2。11)

方程(2。6)的相對論不變性要求算符γμ 滿足變換關係

γμ = αμνγν = Λ-1γμΛ (2。12)

對於無限小變換,我們已經熟知如下的關係

αμνμνμν εμν = -ενμ

Λ= 1 +εμνSμν/2 Λ-1= 1 εμνSμν/2

Sμν = (γμγν - γνγμ)/4 = -Sνμ (2。13)

利用算符στ 的性質(2。4)和(2。5),在(2。13)中將規定(2。8)代入,便可算出 Sμν在新表象中的表?

S12 = iσ3 /2 S23 = iσ1 /2 S31 = iσ2 /2

S14 = iσ1τ3 /2 S24 = iσ2τ3 /2 S34 = iσ3τ3 /2 (2。14)

注意到 εijij εi4 = -εi4 , 我們得到

τ1Λτ1-1 τ2Λτ2-1 (2。15)

可見變換算符 SμνΛ 已經不同于原來的表示,並且比原來的表示更完美。在羅倫茲變換下,方程(2。6)的相對論協變性可以用算符 Sμν 的運算式(2。14)加以驗證。

 

3. 在新表象中的狄拉克方程的解

我們用算符τ1 左乘新的狄拉克方程(2。10)。此方程變成一個更加對稱的形式

1 e12 e23 e3 + iτ3 e4 + τ1 m ) ψ = 0 (3。1)

我們用分離變數法尋找方程(3。1)的一個特解ψ,它能夠分解成三個一元函數的乘積

ψ = ψ(σ)ψ(τ)ψ(x) = ψσψτψx (3。2)

一個一般的解能夠寫成有限或無限個這樣的特解之和。 這兒 ψσψτ 分別屬於στ的函數,而

ψx = C1 exp(ixμPμ) (3。3)

將(3。3)代進(3。2),再將(3。2)代進(3。1),方程(3。1)化成

( iσ1 P1 + iσ2 P2 + iσ3 P33 P4 + τ1 m ) ψ = 0 (3。4)

這個方程能夠被重寫??簡潔的形式

iσ·P ψ = (τ3 P4 - τ1 m ) ψ (3。5)

這堸妎q向量P=[P1,P2,P3]。用(3。2)式同除上式兩邊,我們得到

iσ·P ψσ3 P4 - τ1 m ) ψτ (3。6)

 



ψσ ψτ

既然方程(3。6)的左邊僅僅與σ有關,右邊僅僅與τ有關,兩邊必定是等於同一個常數。我們把這個常數記? i2PS, 最後(3。6)式分離成兩個方程:

iσ·P ψσ = i2PS ψσ (3。7)

3 P4 - τ1 m )ψτ = i2PSψτ (3。8)

我們首先尋找方程(3。7)的解,與此方程相對應的久期方程是

Det ( i2PS - iσ1 P1 - iσ2 P2 - iσ3 P3 ) = 0 (3。9)

將表徵算符σ的第一組矩陣代入上式,得到一個四階行列式如下:

i2PS P3 P2 P1

P3 i2PS P1 P2

P2 P1 i2PS P3

P1 P2 P3 i2PS (3。10)

經過簡單計算得到

[ (2PS) 2 ( P12 + P22 + P32 ) ] 2 = 0

2PS = ±√ P12 + P22 + P32 (3。11)

可見,此方程的本征值是簡併的。方程(3。7)是動量和自旋二者的本征值方程。我們求解此方程時,既得到了S的值,又得到了P的值. 本征值S是自旋 S = σ/2 在動量 P的方向的投影。本征值P是我們熟知的動量向量 P的模,因此我們得到

P =√ P12 + P22 + P32 S = ±1/2 (3。12)

將上面的解(3。12)代回方程(3。7)我們得到四個相互正交的波函數:

P1 P1

1 P2 1 P2

 



﹟2 P P3 (S=1/2) ﹟2 P P3 (S=-1/2)

iP -iP

(3.13)

i( P 2-P12) -i(P 2-P12)

1 -P3P-iP1P2 1 -P3P+iP1P2

 



﹟2(P 2-P12)P P2P-iP1P3 (S=1/2) ﹟2(P 2-P12)P P2P+iP1P3 (S=-1/2)
    1. 0

方程(3。7)的解不是唯一的,我們能夠找到一些其他的相互正交的四個波函數ψσμ, 它們都能滿足方程(3。7).

我們現在尋找方程(3。8)的解。用τ3 乘(3。8)的兩邊,移項後得:

( iτ3 2PS + iτ2 m )ψτ = P4ψτ (3。14)

上面的方程是 P4 的本征值方程. 與方程(3。7)類似, 此處的P4 不僅表示能量的本征值,而且也包含算符τ 在時間座標上的投影的本征值,因此我們將它記? P4=i2ET, 於是方程(3。8)最後被寫成

( iτ3 2PS + iτ2 m )ψτ = i2ETψτ (3。15)

相應于方程(3。15)的久期方程是

Det ( i2ET - iτ3 2PS - iτ2 m ) = 0 (3。16)

將算符τ的矩陣表示(2。3)代入上式, 當 S=1/2 時,上面的公式給出

i2ET - P m 0

P i2ET 0 m

- m 0 i2ET P

 


0 - m -P i2ET
(3。17)

求解此行列式得到

[ (2ET) 2 ( P2 + m2 ) ] 2 = 0

2 E T = ±√ P2 + m2 (3。18)

這組解也是簡併的。 方程(3。15)是能量和第二內稟自旋算符τ的本征值方程。此處本征值 T 代表第二內稟自旋 T=τ/2 沿空間時間座標系統第四軸的投影, 而本征值 E 則是我們熟知的能量。由此可見,這堣ㄕs在所謂的“負能解困難”。如下的解是合理的:

E =√ P2 + m2 T = ±1/2 (3。19)

把結果(3。19)代回方程(3。8),我們得到四個相互正交的波函數:

iE P

1 -P 1 -iE

 



2 E m (T=1/2) ﹟2 E 0 (T=-1/2)

0 m

(3.20)

 

0 m

1 m 1 0

 



2 E P (T=1/2) ﹟2 E iE (T=-1/2)

-iE -P

 

和方程(3。7)一樣,方程(3。8)的解也不是唯一的,我們能夠找到一些其他的相互正交的四個波函數ψτμ. 當S=-1/2時,只需把方程(3。17)和解(3。20)中的P-P 代換,其餘保持不變。如果我們用

ψx = C2 exp(-ixμPμ) (3。21)

代替式(3。3),只需把方程(3。17)和解(3。20)中的m- m 代換,其餘保持不變即可。既然每組解ψσ ψτ 包含四個相互獨立的波函數,作?方程(3。1)的解的波函數ψ, 它是ψσψτ的乘積,將包含16個狀態波函數。 所以,方程(2。10)的解應該是描述我們原來稱之?粒子體系的東西。也就是說,在此方程中,我們可以把一些不同的粒子,看成是同一粒子的一些不同的狀態。

 

  1. 守甯y

從算符στ的性質我們看出,不存在由σiτj構成的張量,也就是說它們根本構造不出張量 ,這是與實驗事實相符合的。根據式(2。15),我們能夠假設

ψ = ψτ2 (4。1)

如果ψτ 是方程(3。8)的解,那么ψττ2 也是方程(3。8)的解:

ψττ23 P4 - τ1 m ) = i2PSψττ2 (4。2)

我們定義四維的流密度向量?

J1 =ψγ1ψ=ψτ1σ1ψ=-iψτ3σ1ψ

J2 =ψγ2ψ=ψτ1σ2ψ=-iψτ3σ2ψ

J3 =ψγ3ψ=ψτ1σ3ψ=-iψτ3σ3ψ

J4 =ψγ4ψ=ψτ2ψ=ψψ (4。3)

上面的式子能夠被重寫?

Jiτ3σiψ J4 =iρ=iψψ (4。4)

注意到 ψ=ψ(σ)ψ(τ)ψ(x)=ψσψτψxψxψx=1(orδ),既然這些解ψσ ψτ 以及 ψx 都是從分離變數法得來的,它們應該相互對易,因此我們有

ψτiσjψ=(ψττiψτ)(ψσσjψσ) (4。5)

我們可以找出 Jμ 的一個特解,這只要把我們已經找到的ψσψτ,亦即上面已經給出的特解(3。13)和(3。20)代入(4。4)中。我們首先計算(4。5)的每個因數,得到

ψσσiψσ = Pi/P when S=1/2 ψσσiψσ = -Pi/P when S=-1/2

ψττ3ψτ = P/E when T=1/2 ψττ3ψτ = -P/E when T=-1/2 (4。6)

將(4。6)代入(4。4),便得到四維空間的流密度向量

Ji = Pi/E when S=1/2 and T=1/2 or when S=-1/2 and T=-1/2

Ji = - Pi/E when S=1/2 and T=-1/2 or when S=-1/2 and T=1/2

J4 = i (4。7)

如將 Jμ的每一分量乘與能量E , 便得到能量動量四度向量. 我們可以看出,對於給定的 P, 這種流還可正可負,這樣的性質除非電流莫屬. 從表示流的這些式子我們看到,流的正負不僅與S有關,而且與T有關。因而T 應當是與電荷相關的一個算符,才會影響到流的符號。

我們能夠從στ的運算規則推導出γ5在新表像下的形式:

γ51γ2γ3γ4 = τ1σ1τ1σ2τ1σ3τ2 = -τ3 (4。8)

四維空間的流密度膺向量可以表示?

j1 =ψγ5γ1ψ= -ψτ3τ1σ1ψ=-iψσ1ψ

j2 =ψγ5γ2ψ= -ψτ3τ1σ2ψ=-iψσ2ψ

j3 =ψγ5γ3ψ= -ψτ3τ1σ3ψ=-iψσ3ψ

j4 =ψγ5γ4ψ= -ψτ3τ2ψ=ψτ3ψ (4。9)

上面這些式子可簡寫?

jiσiψ j4 = iψτ3ψ (4。10)

把解(3。13)和(3。20)代入(4。10)可以得到jμ 的一個特解

ji = Pi/P when S=1/2 ji = -Pi/P when S=-1/2

j4 = iP/E when T=1/2 j4 = -iP/E when T=-1/2 (4。11)

我們看到,向量流(4。4)是由純粹的帶電粒子形成的,我們稱這種流?電流。當有中性粒子參與在流中,我們假定,它將是向量和膺向量流二者之和:

Jμ0 = Jμ + jμ (4。12)

或者把它重新表示?

Ji0 = ψτ(1+τ3τσσiψσ) Ji0 = iψτ(1+τ3τ (4。13)

注意到流向量Jμ0的每一分量都有因數ψτ(1+τ3τ,因此,對於電磁相互作用,我們可以認?這個因數?零,從而使Jμ0=0。對於弱相互作用,這個因數不?零,而且這個因數是第二內稟自旋的提升和下降算符,亦即對應於ΔT=1/2的算符。在弱相互作用中有個同位旋ΔI=1/2選擇定則。這是第二內稟自旋對應於同位旋的又一個例證。顯然,這個因數使一個帶電粒子轉變?不帶電的粒子,或者相反,使一個不帶電粒子轉變?帶電粒子。

 

5. 自旋σ和第二內稟自旋τ的電磁勢

當存在電磁場時,狄拉克方程中的運算元eμ 應由Dμ代替,且 Dμ=eμ-ieAμ . 狄拉克方程被表示?

μDμ + m )ψ = 0 (5。1)

用算符λDλ- m )左乘(5。1)式,?

λγμDλDμ - m2 )ψ = 0 (5。2)

顯然

γλγμλμ+(γλγμ - γμγλ)/2 =δλμ- 2Sλν (5。3)

交換啞指標字母,並注意Sλμ的反對稱性,我們得到

SλμDλDμ= - SλμDμDλ= Sλμ( DλDμ-DμDλ)/2 (5。4)

進一步的運算給出

DλDμ-DμDλ=ie(eλAμ-eμAλ)=ieFλμ (5。5)

因此方程(5-2)最後能夠被表示?

( DμDμ + ieSλμFλμ - m 2 )ψ = 0 (5。6)

方程(5-6)比克萊茵-高登方程多了一項ieSλμFλμ。 用 Sλμ的運算式(2。14)代入這項,並將電磁場張量的各分量Fλμ換成用電場 E 和磁場 B 的分量表出, 我們最後得到

ieSλμFλμ = -eσ·B + ieτ3 σ·E

這項稱?電磁勢,其作用是使粒子極化。即這項的作用是使得粒子自旋轉向與外場方向平行或反平行的方向。從這項我們可以看出,不僅磁場能夠極化粒子,而且電場也能夠極化粒子。

 

 

考文

[1] L.D.Landau and E.M.Lifshits, Quantum Mechanics (1948)

[2] V.A. Fok, The Principles of Quantum Mechanics (1932)

[3] P.A.M.Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford (1957)

[4] M.Gell-mann & Ne’eman The Eightfold Way, New York (1964)

[5] Leonad I.Schiff Quantum Mechanics (1949)

[6] Albert Messiah Quantum Mechanics (1958)