十階拉丁方的正交對的一個系列  

張俠輔

  摘要 本文給出了五個AR矩陣,由每個AR矩陣可以構造四對十階正交拉丁方,它們組成一個完整的系列.

1782年,EULER曾經提出:也許不存在階數N=2MOD 4)的正交拉丁方。在組合數學中,由EULER首先提出的這一問題被稱爲EULER猜想。尋找這一問提的答案,歷經一百多年的停滯,到二十世紀才得到了解決。1900年左右,TARRY通過系統的枚舉,證明了當N=6時,EULER猜想是正確的。到1960年左右。BOSE.SHRIKHARDEPARKE證明了,對於N>6的情況,與EULER猜想相反,必存在一對N=2MOD4)的正交拉丁方,並且,他們作出了一對十階正交拉丁方。這是一個突破。從他們的理論産生了一種新的組合設計,爲後來衆多的學者所採用和發展了。隨著這一問題的解決,下一步的問題是,對於各種非素數冪的階N,究竟存在多少個彼此相互正交的拉丁方,以及這樣一些正交的拉丁方的具體結構如何,等等這些問題,至今還未徹底解決。

1988年,我們用一套與上述學者不同的方法,在速度爲一兆赫的電腦上,找到了一百捌十對十階正交拉丁方,這一新的結果證實了,對於非素數冪的某些情形,拉丁方的正交組不是唯一的,能夠形成系列。

Z9是整數環,其元素組成模9的非負最小完全剩餘系,是一個固定點,對於αZ9定義運算

+α=α+=*α=α*=

在集合Z9U{}上的3*AR矩陣具有性質

1)  每行每列包含彼此不同的元素。

2)  如果r1=(x1,x2…,x10) r2=(y1,y2…,y10) AR矩陣的任意兩行,則對每個αZ9\{0},恰存在唯一的一對元素(xi,yi, 使得xi-yi=α. 

 

                              AR=  

在集合Z9U{}上的拉丁方爲  

                             LK=  

                 i,j=1,2,3,…,10  k=1,2

則由一組構作公式

         l1i2=xi,  l2i2=yi                                 i=1,…,10                  (1)

         lk11=,  lki1=i-2                             i=2,…,10 k=1,2         (2)

         lk1,j+1=lk1j +1                                 j=2,…10 k=1,2         (3)

         lki+1,j+1=lkij +1                                i,j=2,…,10 k=1,2      (4)

可以作出一對十階正交拉丁方。這堙A下標也是模9的,即當i=10i+1=2, j=10j+1=2.

我們給出5個相互獨立的3*AR矩陣如下

           

由一個AR矩陣可以生成4對彼此不同構的十階正交拉丁方,設它們是PA1PA2PA3,和PA4。它們可以通過如下的步驟構造出來:

1)  AR矩陣進行列置換,使其中一行按元素的自然順序排列,亦即(,0,1,2,…,8),而將另外兩行(x1,x2…,x10)(y1,y2…,y10)用於構作公式,則對應於一個AR123行的自然順序排列,由構作公式分別作出的正交對爲PA1PA2PA3。它們彼此不同構。

2)  對每對十階正交拉丁方PA1PA2PA3,將每一元素減去其所屬拉丁方的第一行第二列的元素值,再將整個拉丁方進行轉置,就得到另外一對正交拉丁方。即存在變換

                            i,j=1,2,…,10  k=1,2

它將PA1PA2PA3分別變爲PA1PA2PA3,但是其中PA1=PA1。這是一種同構變換。

3)  PA2PA3中,取每個拉丁方的第二列爲(x1,x2…,x10)(y1,y2…,y10)。連同排列(,0,1,2,…,8)一起又可以構成一個新的AR矩陣,這只不過是將構作公式(1)反過來使用而已。由得到的這個AR矩陣,再重復步驟1)作出三對十階正交拉丁方,它們必爲PA2PA3PA4,因而從中能夠找出PA4

   按照這些步驟,除去與PA2PA3同構的PA2PA3外,由5AR矩陣總共能夠構造20對彼此不同構的正交拉丁方,它們形成一個完整系列。

   由本文給出的構作公式所規定的形式的正交拉丁方,還可以通過一種變換演化出6種表現形式。實際上,只要將一對拉丁方的各元素乘與2PMOD9),就得到另外一種表現形式。分別取P=012345,就得到相應的6種表現形式,由一個AR矩陣聯繫的6對正交拉丁方PA1PA2PA3PA4PA2PA3,每對都有6種表現形式,6對就有36種表現形式,因而5AR矩陣聯繫的正交拉丁方,一共有180種表現形式。此即在電腦塈鋮鴘180對十階正交拉丁方。 

例如,我們取第一個AR矩陣,按構作公式(1)(2)(3)(4)直接作出的第一對正交拉丁方爲: