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數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。[1]
基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。[2]
今日，數學被使用在世界上不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家亦研究沒有任何實際應用價值的純數學，即使其應用常會在之後被發現。[3]
創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純粹數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。
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[編輯] 詞源
數學（mathematics；希臘語：μαθηματικά）這一詞在西方源自於古希臘語的μάθημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹意且技術性的意義－「數學研究」，即使在其語源內。其形容詞μαθηματικός（mathēmatikós），意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的複數形式，及在法語中的表面複數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性複數mathematica，由西塞羅譯自希臘文複數τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。[4][5]
[編輯] 歷史
數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語μαθηματικός（mathematikós）意思是「學問的基礎」，源於μάθημα（máthema）（「科學，知識，學問」）。
數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解瞭如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。
更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。
從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算，為了了解數字間的關係，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。
到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關係和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。
數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說，「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。」[6]
[編輯] 形成、純數與應數及美學
數學出現於包含著數量、結構、空間及變化等困難問題內。一開始，出現於貿易、土地測量及之後的天文學；今日，所有的科學都存在著值得數學家研究的問題，且數學本身亦存在了許多的問題。牛頓和萊布尼茲是微積分的發明者，費曼發明了費曼路徑積分，來用於推理及物理的洞察，而今日的弦理論亦生成為新的數學。一些數學只和生成它的領域有關，且應用於此領域的更多問題解答。但一般被一領域生成的數學亦可以在其他許多領域內被有用的使用，且成為數學概念的一般知識。即使是「最純的」數學通常亦可以被用於實際的用途上的此一卓越的事實，被維格納稱為「數學在自然科學中不可想像的有效性」。
如同大多數的研究領域，科學知識的爆發導致了數學的專業化。一主要的分歧為純數學和應用數學。在應用數學內，又被分成兩大領域，並且變成了它們自身的學科－統計學和電腦科學。
許多數學家談論數學的優美，其內在的美學及美。簡單和一般化即為美的一種。另外亦包括巧妙的證明，如歐幾里德對存在無限多質數的證明，及加快計算的數值方法，如快速傅利葉變換。高德菲·哈羅德·哈代在一個數學家的自白這章文章中表示其所相信的美學思維足夠使其進行純數學的研究。
[編輯] 符號、語言與嚴謹
我們現今所使用的大部份數學符號都是到了16世紀後才被發明出來了。[7]在此之前，數學被以文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程序。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。
數學語言亦對初學者而言感到困難。如或和只這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者的，如開放和域等字在數學裡有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。
嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的「定理」，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。[8]在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。
公理在傳統的思想中是「不證自明的真理」，但這種想法是有問題的。在形式上，公理只是一串符號，其只對可以由公理系統導出的公式之內容有意義。希爾伯特計劃即是想將所有的數學放在堅固的公理基礎上，但依據哥德爾不完備定理，每一不相矛盾的公理系統必含有一不可決定的公式；因而所有數學的最終公理化是不可能的。然而數學常常被想像成只是一些公理化的集合論，在此意義下，所有數學敘述或證明都可以寫成集合論的公式。
[編輯] 數學作為科學
卡爾·弗里德里希·高斯稱數學為「科學之母」。[9]其拉丁原文為Regina Scientiarum，而其德語為Königin der Wissenschaften，其對應於科學的單字意思為知識。而實際上，科學science在英語內的原文內也是這個意思，且無疑問地數學確實一門在此意思下的「科學」。將科學限定在自然科學則是在此之後的事。若認為科學是只指物理的世界時，則數學，至少是純數學不會是一門科學。愛因斯坦曾這樣描述著：「數學定律越和現實有關，它們越不確實；若它們越是確定的話，它們和現實越不會有關。」[10]
許多哲學家相信數學在經驗上具可否證性[來源請求]，且因此不是卡爾·波普爾所定義的數學。但在1930年代時，在數學邏輯上的重大進展顯示數學不能歸併至邏輯內，且卡爾·波普爾推斷「大部份的數學定律，如物理及生物學一樣，是假設演繹的：純數學因此變得更接近其假設為猜測的自然科學，比它現在看起來更接近。」[11]其他的思想家，如較著名的拉卡托斯，提供了一個關於數學本身的可否證性版本。
另一種觀點為某些科學領域(如理論物理)是其公理為嘗試著符合現實的數學。而事實上，理論物理學家齊曼即認為科學是一種公眾知識且因此亦包含著數學。[12]在任何的情況下，數學和物理科學的許多領域都有著相同的地方，尤其是在假設的邏輯推論的探索。直覺和實驗在數學和科學的猜想建構上皆扮演著重要的角色。實驗數學在數學中的重要種持續地在增加，且計算和模擬在科學及數學中所扮演的角色也越來越加重，減輕了數學不使用科學方法的缺點。在史蒂芬·沃爾夫勒姆2002年的書籍一種新科學中提出，計算數學應被視為其自身的一科學領域來探索。
數學家對此的態度並不一致。一些研究應用數學的數學家覺得他們是科學家，而那些研究純數學的數學家則時常覺得他們是在一門較接近邏輯的領域內工作，且因此基本上是個哲學家。許多數學家認為稱他們的工作是一種科學，是低估了其美學方面的重要性，以及其做為七大博雅教育之一的歷史；另外亦有人認為若忽略其與科學之間的關聯，是假裝沒看到數學和其在科學與工程之間的交界導致了許多在數學上的發展此一事實。這兩種觀點之間的差異在哲學上產生了數學是被創造(如藝術)或是被發現(如科學)的爭議。大學院系劃分中常見「科學和數學」系，這指出了這兩個領域被看作同盟而非同一。實際上，數學家基本上會在大體上與科學家合作，但在細節上卻會分開。這亦是數學哲學眾多議題的其中之一個議題。
數學獎通常和其他科學的獎項分開。數學上最有名的獎為菲爾茲獎，[13][14]創立於1936年，每四年頒獎一次。它通常被認為是數學的諾貝爾獎。另一個國際上主要的獎項為阿貝爾獎，創立於2003年。兩者都頒獎於特定的工作主題，包括數學新領域的創新或已成熟領域中未解決問題的解答。著名的23個問題，稱為希爾伯特的23個問題，於1900年由德國數學家大衛·希爾伯特所提出。這一連串的問題在數學家之間有著極高的名望，且至少有九個問題已經被解答了出來。另一新的七個重要問題，稱為千禧年大獎難題，在2000年發表出來。每一個問題的解答都有著一百萬美元的獎金，且只是一個問題(黎曼猜想)和希爾伯特的問題重複。
[編輯] 數學的各領域
如同上面所述一般，數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的子領域相關連著。除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。
[編輯] 數量
數量的學習起於數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質被研究於數論中，此一理論包括瞭如費馬最後定理之著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生質數猜想及哥德巴赫猜想。
當數系更進一步發展時，整數被承認為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成複數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數，它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念：艾禮富數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
[編輯] 結構
許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。
[編輯] 空間
空間的研究源自於幾何－尤其是歐式幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在久遠的龐加萊猜想及有爭議的四色定理，其只被電腦證明，而從來沒有由人力來驗證過。
[編輯] 變化
了解及描述變化在自然科學裡是一普遍的議題，而微積分即是一發展來做為研究變化的有利工具。函數誔生於此，做為描述一變化的量的核心概念。對於實數及實變函數的嚴格研究為實分析，而複分析則為複數的等價領域。黎曼猜想－數學最基本的未決問題之一－即以複分析來描述。泛函分析注重在函數的(一般為無限維)空間上。泛函分析的眾多應用之一為量子力學。許多的問題很自然地會導出數量與其變化率之間的關係，而這則被微分方程所研究著。在自然界中的許多現象可以被動力系統所描述；混沌理論明確化許多表現出不可預測的系統之行為，而且為決定性系統的行為。
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| 微積分 | 向量分析 | 微分方程 | 動力系統 | 混沌理論 |
[編輯] 基礎與哲學
數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上，並研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論電腦科學有著密切的關連性。
[編輯] 離散數學
離散數學是指對理論電腦科學最有用處的數學領域之總稱，包含有可計算理論、計算複雜性理論及資訊理論。可計算理論檢查電腦的不同理論模型之極限，包含現知最有力的模型－圖靈機。複雜性理論研究可以由電腦做為較易處理的程度；有些問題即使理論是可以以電腦解出來，但卻因為會花費太多的時間或空間而使得其解答仍然不為實際上可行的，儘管電腦硬件的快速進步。最後，資訊理論專注在可以儲存在特定媒體內的資料總量，且因此有壓縮及熵等概念。
做為一相對較新的領域，離散數學有許多基本的未解問題。其中最有名的為P/NP問題－千禧年大獎難題之一。[15]一般相信此問題的解答是否定的。 [16]
[編輯] 應用數學
應用數學思考將抽象的數學工具運用在解答科學、工商業及其他領域上之現實問題。應用數學中的一重要領域為統計學，它利用機率論為其工具並允許對含有機會成分的現象進行描述、分析與預測。大部份的實驗、測量及觀察研究需要統計對其資料的分析。(許多的統計學家並不認為他們是數學家，而比較覺得是合作團體的一份子。)數值分析研究如何有效地用電腦的方法解決大量因太大而不可能以人類的演算能力算出的數學問題；它亦包含了對計算中捨入誤差或其他來源的誤差之研究。
[編輯] 非數學
數學不是占數術。數學的證明或反證明的意念都要在邏輯之中進行，占數術卻非。
數學不是會計學。雖然會計師的工作就是算術運算，他們只需檢查計算是否準確。證明和反證假設對數學家很重要但對會計師毫不重要。如果高等抽象數學的發展不能改善簿記的精確性和效率，和會計學毫無關係。
[編輯] 另見
[編輯] 註記
- ↑ Jourdain
- ↑ Eves
- ↑ Peterson
- ↑ 牛津英語詞源詞典
- ↑ 牛津英語詞典
- ↑ Sevryuk
- ↑ 不同數學符號的各別最早用途 (包含有更多的參考資料)
- ↑ 參見無效證明來看什麼要在正式的證明中出錯的一些簡單例子。四色定理的歷史中則有個被亦其他數學家所接受的錯誤證明。
- ↑ Waltershausen
- ↑ 愛因斯坦，第28頁。愛因斯坦對問題的解答敘述："how can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" 他亦關心數學在自然科學中不可想像的有效性.
- ↑ 波普爾 1995, p. 56
- ↑ Ziman
- ↑ 「菲爾茲獎毫無疑問地是現今數學最有名且最有影響力的獎項。」Monastyrsky說。
- ↑ Riehm
- ↑ 克雷數學研究所 P=NP
- ↑ P=NP的民調顯示2005年大眾相信它並不相等。(看section 5)
[編輯] 參考書目
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- Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7.— A gentle introduction to the world of mathematics.
- 愛因斯坦, 阿爾伯特 (1923). "Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)".
- Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0030295580.
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- Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.
- Ziman, J.M., F.R.S. (1968). "Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science".
[編輯] 參考網址
- 數學網址（數學網址） 。
- Rusin, Dave: The Mathematical Atlas（英文版）現代數學漫游。
- Weisstein, Eric: World of Mathematics，一個線上的數學百科全書。
- Planet Math，另一個線上的數學百科全書，使用GFDL，允許和維基百科交換條目。
- MathForge，一個包含數學、物理、電腦科學和教育等範疇的新聞網誌。
- EpisteMath｜數學知識。
- 香港科技大學:數學網，一個以數學史為主的網站。
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